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Eigenraum
Ein Eigenraum (auch Invariantenschale) einer linearen Abbildung ist ein vektorieller Unterraum, der durch die Nullvektoren der Abbildung definiert ist.
Beispiel: Die Matrix
$$A=begin{pmatrix}1&-1&2\-1&0&1\2&1&0end{pmatrix}$$
hat den Eigenraum
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\0\-1end{pmatrix},begin{pmatrix}0\1\1end{pmatrix}right}.$$
Aufgabe 1:
Finde den Eigenraum der folgenden Matrix:
$$A=begin{pmatrix}1&1&0\1&-1&2\0&2&-1end{pmatrix}$$
Lösung:
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\0\1end{pmatrix},begin{pmatrix}0\1\0end{pmatrix}right}.$$
Aufgabe 2:
Finde den Eigenraum der folgenden Matrix:
$$A=begin{pmatrix}0&1&1\1&0&1\1&1&0end{pmatrix}$$
Lösung:
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\1\1end{pmatrix}right}.$$
Aufgabe 3:
Finde den Eigenraum der folgenden Matrix:
$$A=begin{pmatrix}1&2&1\2&4&2\1&2&1end{pmatrix}$$
Lösung:
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\0\-1end{pmatrix},begin{pmatrix}0\1\1end{pmatrix}right}.$$
Aufgabe 4:
Finde den Eigenraum der folgenden Matrix:
$$A=begin{pmatrix}1&2&3\2&5&8\3&8&13end{pmatrix}$$
Lösung:
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\-1\0end{pmatrix},begin{pmatrix}0\1\-1end{pmatrix}right}.$$
Aufgabe 5:
Finde den Eigenraum der folgenden Matrix:
$$A=begin{pmatrix}0&1&2\1&2&3\2&3&4end{pmatrix}$$
Lösung:
$$E=text{Span}left{begin{pmatrix}1\0\-1end{pmatrix},begin{pmatrix}0\1\-1end{pmatrix},begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}right}.$$
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