Inverse Matrix berechnen 2×2 | Aufgaben und Übungen mit Lösungen

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Eine Inverse Matrix ist nützlich, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Es kann auch verwendet werden, um die Lösung einer quadratischen Gleichung zu finden. Die Inverse einer Matrix ist nicht immer einfach zu berechnen, aber es gibt eine Methode, die für 2×2-Matrizen funktioniert.

Anleitung zur Berechnung der Inversen Matrix

Schritt 1: Finden Sie die determinante der Matrix. Die Determinante ist eine Zahl, die aus den Koeffizienten der Matrix berechnet wird. Für eine 2×2-Matrix ist die Determinante die Summe der Produkte der diagonalen Elemente minus die Summe der Produkte der nicht-diagonalen Elemente.
Schritt 2: Finden Sie die inverse Matrix, indem Sie jedes Element in der Matrix durch die Determinante dividieren. Die neuen Koeffizienten sind die inverse Matrix.

Beispiel:

Schritt 1:

Gegeben ist die Matrix: $$ begin{pmatrix} 3 & 2\ 1 & 4 end{pmatrix} $$ Die Determinante der Matrix ist: $ 3cdot 4 – 2cdot 1 = 10-2 = 8 $

Schritt 2:

Die inverse Matrix ist: $$ begin{pmatrix} 3 & 2\ 1 & 4 end{pmatrix} $$

Um die Inverse einer Matrix zu berechnen, dividieren Sie jeden Koeffizienten durch die Determinante. In diesem Beispiel ist die Determinante 8, also teilen Sie jeden Koeffizienten durch 8.

Aufgaben

Berechnen Sie die inverse Matrix für die folgenden Matrizen:

Aufgabe 1 $$ begin{pmatrix} 4 & 3\ 3 & 2 end{pmatrix} $$ Lösung: $$ begin{pmatrix} -2 & 3\ 3 & -4 end{pmatrix} $$ Aufgabe 2 $$ begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\ 4 & 5 & 6\ 7 & 8 & 0 end{pmatrix} $$ Lösung: $$ begin{pmatrix} -24 & 15 & -6\ 20 & -12 & 4\ -5 & 3 & -1 end{pmatrix} $$ Aufgabe 3 $$ begin{pmatrix} 4 & 8\ 6 & 12 end{pmatrix} $$ Lösung: $$ begin{pmatrix} -3 & 4\ 2 & -3 end{pmatrix} $$ Aufgabe 4 $$ begin{pmatrix} 2 & 4 & 1\ 8 & 16 & 4\ 6 & 12 & 3 end{pmatrix} $$ Lösung: $$ begin{pmatrix} -24 & 40 & -17\ 20 & -32 & 13\ 5 & -8 & 3 end{pmatrix} $$ Aufgabe 5 $$ begin{pmatrix} 6 & 2 & 4\ 0 & 2 & 1\ 0 & 0 & 3 end{pmatrix} $$ Lösung: $$ begin{pmatrix} 1 & -1/2 & -2/3\ 0 & 1 & 1/3\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} $$

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