In der Mathematik versteht man unter einer Linearkombination (auch lineare Kombination) die Summe aus mehreren Multiplikationen von Elementen einer Menge mit unterschiedlichen Faktoren. Die Menge der Elemente nennt man Koeffizientenmenge, der jeweilige Faktor nennt sich Koeffizient. In der Regel wird eine Linearkombination in der Form einer Klammerschreibweise dargestellt:
L = a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn
wobei L die Linearkombination ist, a1, a2, …, an die Koeffizienten sind und x1, x2, …, xn die Elemente der Koeffizientenmenge sind. Die Koeffizienten bzw. die Elemente können natürliche, ganze, rationale oder reelle Zahlen sein.
Spann
Unter dem Spann einer Menge M versteht man die Menge aller Linearkombinationen aus den Elementen von M. Formal wird der Spann wie folgt definiert:
SpannR(M) = {L ∈ R : L = a1·x1 + a2·x2 + … + an·xn, ai∈R, xi∈M}
Der Spann einer Menge M ist also die Menge aller Linearkombinationen, wobei die Koeffizienten aus dem Körper R und die Elemente aus der Menge M stammen. Wenn der Körper nicht explizit angegeben wird, so ist dieser immer die reellen Zahlen R. Der Spann ist also eine Teilmenge des Körpers R. Die Menge M selbst gehört zum Spann von M. Dies ist auch logisch, da ja ein Element xi von M auch durch die Linearkombination 1·xi dargestellt werden kann.
Beispiel 1: Spann von zwei Elementen
Bestimme den Spann der Menge M = {x, y}. Beachte, dass x und y beliebige reelle Zahlen sind.
Der Spann von M ist gegeben durch
Spann(M) = {L ∈ R : L = a1·x + a2·y, a1, a2∈R}
Der Spann von M ist damit die Menge aller Linearkombinationen aus den Elementen von M. Die Koeffizienten a1 und a2 können beliebige reelle Zahlen sein. Die Elemente von M sind x und y. Wir sehen also, dass der Spann von M die Menge aller Linearkombinationen der Form
L = a1·x + a2·y
ist. Allgemein gesagt, ist der Spann von M die Menge aller Geraden, die durch die Punkte (x, y) und (0, 0) verlaufen. Wenn man den Spann von M geometrisch darstellen möchte, so kann man dies wie im folgenden Bild tun.
Im obigen Bild ist der Punkt (x, y) grün und der Punkt (0, 0) in blau dargestellt. Die blaue Gerade ist die y-Achse, die grüne Gerade ist die Gerade, die durch die beiden Punkte verläuft. Wir sehen, dass der Punkt (x, y) auf der Geraden liegt. Die Geraden, die durch (x, y) und (0, 0) verlaufen, sind alle Elemente des Spanns von M.
Beispiel 2: Spann von drei Elementen
Bestimme den Spann der Menge M = {x, y, z}. Beachte, dass x, y und z beliebige reelle Zahlen sind.
Der Spann von M ist gegeben durch
Spann(M) = {L ∈ R : L = a1·x + a2·y + a3·z, a1, a2, a3∈R}
Der Spann von M ist damit die Menge aller Linearkombinationen aus den Elementen von M. Die Koeffizienten a1, a2 und a3 können beliebige reelle Zahlen sein. Die Elemente von M sind x, y und z. Wir sehen also, dass der Spann von M die Menge aller Linearkombinationen der Form
L = a1·x + a2·y + a3·z
ist. Allgemein gesagt, ist der Spann von M die Menge aller Geraden, die durch die Punkte (x, y, z) und (0, 0, 0) verlaufen. Wenn man den Spann von M geometrisch darstellen möchte, so kann man dies wie im folgenden Bild tun.
Im obigen Bild ist der Punkt (x, y, z) grün und der Punkt (0, 0, 0) in blau dargestellt. Die blaue Ebene ist die xy-Ebene, die grüne Ebene ist die Ebene, die durch die beiden Punkte verläuft. Wir sehen, dass der Punkt (x, y, z) auf der Ebene liegt. Die Ebenen, die durch (x, y, z) und (0, 0, 0) verlaufen, sind alle Elemente des Spanns von M.
