Eine Matrix (auch Matrize genannt) ist eine rechteckige Tabelle von Zahlen, die in Zeilen und Spalten angeordnet sind.
Die Anzahl der Zeilen nennt man Zeilenanzahl (englisch: number of rows) und die Anzahl der Spalten nennt man Spaltenanzahl (englisch: number of columns). Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man m×n-Matrix.
Die Matrix wird in der Regel mit großen, lateinischen Buchstaben bezeichnet, z. B. A, B oder C. Die einzelnen Elemente der Matrix werden mit kleinen, lateinischen Buchstaben und doppelten Indizes bezeichnet, z. B. aij mit i = 1,…, m für die Zeilen und j = 1,…, n für die Spalten.
Definition
Sei A eine m×n-Matrix. Damit ist
A = (aij)m, n =
a11
a12
…
a1n
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
am1
am2
…
amn
mit m Zeilen und n Spalten. Die Matrix A ist also eine rechteckige Tabelle von m Zeilen und n Spalten, in der jedes Element eine Zahl ist.
Die Summe von Matrizen
Seien A und B zwei m×n-Matrizen. Die summierte MatrixA + B ist eine m×n-Matrix, deren Elemente sich wie folgt berechnen:
(A + B)ij = aij + bij
für alle i = 1,…, m und j = 1,…, n. Die Matrix A + B heißt also Summe von A und B.
Beispiel: Seien
A = (aij)m, n =
1
2
3
4
5
6
und
B = (bij)m, n =
7
8
9
10
11
12
Dann ist
A + B = (aij + bij)m, n =
1 + 7
2 + 8
3 + 9
4 + 10
5 + 11
6 + 12
=
8
10
12
14
16
18
Die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl
Sei A eine m×n-Matrix und c eine Zahl. Die multiplizierte Matrixc × A ist eine m×n-Matrix, deren Elemente sich wie folgt berechnen:
(c × A)ij = c × aij
für alle i = 1,…, m und j = 1,…, n. Die Matrix c × A heißt also c-fache Matrix von A.
Beispiel: Sei
A = (aij)m, n =
1
2
3
4
5
6
und c = 3. Dann ist
c × A = (c × aij)m, n =
3 × 1
3 × 2
3 × 3
3 × 4
3 × 5
3 × 6
=
3
6
9
12
15
18
Die Multiplikation zweier Matrizen
Seien A eine m×p-Matrix und B eine p×n-Matrix. Die multiplizierte MatrixA × B ist eine m×n-Matrix, deren Elemente sich wie folgt berechnen:
(A × B)ij = ai1 × b1j + ai2 × b2j + … + aip × bpj
für alle i = 1,…, m und j = 1,…, n. Die Matrix A × B heißt also Produkt von A und B.
