Orthogonale Projektion Skalarprodukt | Aufgaben und Übungen mit Lösungen

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Orthogonale Projektion Skalarprodukt

In diesem Artikel werden wir die orthogonale Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor erklären. Wir werden auch sehen, wie man das Skalarprodukt zur Berechnung der Orthogonalen Projektion verwendet. Zum Schluss werden wir 5 Aufgaben mit Lösungen zur Orthogonalen Projektion durchführen.

Was ist die Orthogonale Projektion?

Die Orthogonalprojektion (auch Orthogonal projection) eines Vektors a auf einen Vektor b ist der Vektor, der unter den Vektoren mit derselben Länge wie b am nächsten an a liegt. Wenn man einen Vektor auf sich selbst projiziert, so ist die Projektion gleich dem Vektor selbst. Wenn b = 0, so ist die Projektion gleich 0.

Wie berechnet man die Orthogonale Projektion?

Die orthogonale Projektion eines Vektors a auf einen Vektor b kann berechnet werden, indem man das Skalarprodukt von a und b dividiert durch die Länge von b. Die Formel lautet wie folgt:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||²

Wenn man den Vektor a auf sich selbst projiziert, so ist die Projektion gleich dem Vektor selbst. Wenn b = 0, so ist die Projektion gleich 0.

Beispiele

Betrachten wir einige Beispiele zur Berechnung der Orthogonalen Projektion.

Beispiel 1: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 2, 3) auf b = (1, 1, 1).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 2, 3) · (1, 1, 1)) / (1² + 1² + 1²) = (6) / 3 = 2

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (2, 2, 2).

Beispiel 2: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 2, 3) auf b = (0, 1, 0).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 2, 3) · (0, 1, 0)) / (1²) = (0) / 1 = 0

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (0, 0, 0).

Beispiel 3: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 2, 3) auf sich selbst.

Lösung: Wenn wir den Vektor a auf sich selbst projizieren, so ist die Projektion gleich dem Vektor selbst. So ist die Orthogonalprojektion von a auf sich selbst gleich (1, 2, 3).

Beispiel 4: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 2, 3) auf den Nullvektor.

Lösung: Wenn b = 0, so ist die Projektion gleich 0. So ist die Orthogonalprojektion von a auf den Nullvektor gleich (0, 0, 0).

Aufgaben

Jetzt werden wir 5 Aufgaben zur Orthogonalen Projektion durchführen.

Aufgabe 1: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 1, 1) auf b = (1, 2, 3).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 1, 1) · (1, 2, 3)) / (1² + 2² + 3²) = (6) / 14 = 2/7

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (2/7, 4/7, 6/7).

Aufgabe 2: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 2, 3) auf b = (-1, 1, -1).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 2, 3) · (-1, 1, -1)) / ((-1)² + 1² + (-1)²) = (-4) / 3 = -4/3

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (-4/3, 4/3, -4/3).

Aufgabe 3: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 1, 0) auf b = (1, 0, 1).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 1, 0) · (1, 0, 1)) / (1² + 0² + 1²) = 1 / 2

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (1/2, 0, 1/2).

Aufgabe 4: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (2, 3, 4) auf b = (-1, 1, 0).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((2, 3, 4) · (-1, 1, 0)) / ((-1)² + 1² + 0²) = (-1) / 2

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (-1/2, 1/2, 0).

Aufgabe 5: Berechnen Sie die Orthogonalprojektion von a = (1, 1, 1) auf b = (1, -1, 1).

Lösung: Wir berechnen zuerst das Skalarprodukt von a und b, und dividieren es durch die Länge von b. Wir haben:

proj_b(a) = (a · b) / ||b||² = ((1, 1, 1) · (1, -1, 1)) / (1² + (-1)² + 1²) = 1 / 3

So ist die Orthogonalprojektion von a auf b gleich (1/3, -1/3, 1/3).

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