Das Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Verfahren zur Berechnung einer orthogonalen Basis eines n-dimensionalen Vektorraumes. Es wurde von Erhard Schmidt entwickelt und ist eine Erweiterung des Gram-Schmidt-Verfahrens.
Gegeben sei ein n-dimensionaler Vektorraum V mit einer Basis B = {v1, v2, …, vn}. Dann ist eine orthogonale Basis O = {o1, o2, …, on} mit
o1 = v1,
ok = vk – ∑j=1k-1(vk, oj)oj, k = 2, …, n
eine orthogonale Darstellung der Basisvektoren vk.
Die Koeffizienten (vk, oj) werden als Elemente der Orthogonalmatrix OTO bezeichnet und berechnet sich nach
(vk, oj) = vkToj = ∑i=1nvk,ioj,i.
Anwendung
Das Verfahren wird z. B. angewendet, um aus einer gegebenen Matrix A die Matrix Q zu berechnen, die aus den Orthogonalisierungskoeffizienten der Spaltenvektoren von A besteht. Die Matrix QTQ ist dann eine Orthogonalmatrix und kann zur Berechnung der Eigenwerte von ATA benutzt werden.
Beispiel
Gegeben sei der Vektorraum R3 mit den Basisvektoren
v1 = (1, 0, 1),
v2 = (0, 1, 0),
v3 = (1, 1, 0).
Die Koeffizienten der Orthogonalmatrix OTO sind
(1, 0, 1)T(1, 0, 1) = 2,
(1, 0, 1)T(0, 1, 0) = 1,
(1, 0, 1)T(1, 1, 0) = 1,
(0, 1, 0)T(1, 0, 1) = 1,
(0, 1, 0)T(0, 1, 0) = 1,
(0, 1, 0)T(1, 1, 0) = 0,
(1, 1, 0)T(1, 0, 1) = 1,
(1, 1, 0)T(0, 1, 0) = 0,
(1, 1, 0)T(1, 1, 0) = 1.
Die Orthogonalmatrix OTO ist in diesem Fall die Einheitsmatrix.
Aufgaben
Berechne für die Basis B = {(1, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1)} die Orthogonalmatrix OTO.
Berechne für die Basis B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} die Orthogonalmatrix OTO.
Berechne für die Basis B = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0)} die Orthogonalmatrix OTO.
Berechne für die Basis B = {(1, 1, 1), (1, 0, -1), (0, 1, 0)} die Orthogonalmatrix OTO.
Berechne für die Basis B = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} die Orthogonalmatrix OTO.
