Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b ist der Betrag des Vektors a multipliziert mit dem Betrag des Vektors b mal dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren. Im Dreidimensionalen Raum sieht die Formel wie folgt aus:
Das Skalarprodukt ist ein sogenanntes inniges Produkt oder auch dot Product genannt.
Beispiel 1:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(2,1,3) und b=(-1,2,-2).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√(22+12+32)=√(4+1+9)=√14=3,74… Für b ergibt sich: |b|=√(-12+22+(-2)2)=√(1+4+4)=√9=3 Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt: cos(alpha)=frac{acdot b}b Für unsere Vektoren ergibt sich: cos(alpha)=frac{(2cdot-1)+(1cdot2)+(3cdot-2)}{3,74…cdot3}=-frac{5}{11,22…}=-0,443…=-0,44 Das Skalarprodukt berechnet sich wie folgt: acdot b=|a|cdot|b|cdotcos(alpha)=-3,74…cdot3cdot-0,44=-12,88…=-12,9
Beispiel 2:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(4,-5,2) und b=(7,12,-3).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√(42+(-5)2+22)=√(16+25+4)=√45=6,7… Für b ergibt sich: |b|=√(72+122+(-3)2)=√(49+144+9)=√202=14,2… Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt: cos(alpha)=frac{acdot b}a Für unsere Vektoren ergibt sich: cos(alpha)=frac{(4cdot7)+(-5cdot12)+(2cdot-3)}{6,7…cdot14,2…}=frac{28-60-6}{94,4…}=-frac{88}{94,4…}=-0,934…=-0,93 Das Skalarprodukt berechnet sich wie folgt: acdot b=|a|cdot|b|cdotcos(alpha)=-6,7…cdot14,2…cdot-0,93=-119,2…=-119,2
Aufgabe 1:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(1,1,1) und b=(2,3,4).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√(12+12+12)=√3=1,7… Für b ergibt sich: |b|=√(22+32+42)=√29=5,4… Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt: cos(alpha)=frac{acdot b} Für unsere Vektoren ergibt sich: cos(alpha)=frac{(1cdot2)+(1cdot3)+(1cdot4)}{1,7…cdot5,4…}=frac{2+3+4}{9,18…}=frac{9}{9,18…}=0,978…=0,98 Das Skalarprodukt berechnet sich wie folgt: acdot b=|a|cdot|b|cdotcos(alpha)=-1,7…cdot5,4…cdot0,98=-8,44…=-8,4
Aufgabe 2:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(-2,-3,-4) und b=(-5,-6,-7).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√((-2)2+(-3)2+(-4)2)=√(4+9+16)=√29=5,4… Für b ergibt sich: |b|=√((-5)2+(-6)2+(-7)2)=√(25+36+49)=√110=10,5… Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt: cos(alpha)=frac{acdot b}a Für unsere Vektoren ergibt sich: cos(alpha)=frac{((-2)cdot(-5))+((-3)cdot(-6))+((-4)cdot(-7))}{5,4…cdot10,5…}=frac{10+18+28}{56,2…}=frac{56}{56,2…}=0,995…=0,99 Das Skalarprodukt berechnet sich wie folgt: acdot b=|a|cdot|b|cdotcos(alpha)=-5,4…cdot10,5…cdot0,99=-54,4…=-54,4
Aufgabe 3:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(1,2,3) und b=(-1,-2,-3).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√(12+22+32)=√14=3,74… Für b ergibt sich: |b|=√((-1)2+(-2)2+(-3)2)=√14=3,74… Der Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet sich wie folgt: cos(alpha)=frac{acdot b} Für unsere Vektoren ergibt sich: cos(alpha)=frac{(1cdot-1)+(2cdot-2)+(3cdot-3)}{3,74…cdot3,74…}=frac{-1+-4+-9}{14,07…}=-frac{14}{14,07…}=-0,993…=-0,99 Das Skalarprodukt berechnet sich wie folgt: acdot b=|a|cdot|b|cdotcos(alpha)=-3,74…cdot3,74…cdot-0,99=-14,07…=-14,1
Aufgabe 4:
Berechne das Skalarprodukt der Vektoren a=(3,-2,5) und b=(-4,1,-1).
Lösung: Zunächst berechnen wir den Betrag des Vektors a und den Vektors b. Dafür nutzen wir die Formel: |a|=√(a12+a22+a32) Für a ergibt sich also: |a|=√(32+(-2)2+52)=√34=5,8… Für b ergibt sich: |b|=√((-4)2+12+(-1)2)=√21=4,6…
