Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ungleichungen umzuformen, ohne ihre Bedeutung zu verändern. Diese Umformungen nennt man Äquivalenzumformungen. Sie sind hilfreich, wenn man eine Ungleichung in eine andere, einfachere Ungleichung umwandeln will.
Die folgenden Regeln gelten für Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen:
Man darf die Ungleichheitszeichen (<, >, ≤, ≥) austauschen.
Man darf beide Seiten der Ungleichung addieren oder subtrahieren, solange man dasselbe auf beiden Seiten tut.
Man darf beide Seiten der Ungleichung mit einer positiven oder negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, solange man dasselbe auf beiden Seiten tut.
Beispiele
Betrachte die folgende Ungleichung:
3x – 5 > 10
Durch Äquivalenzumformungen kann man die Ungleichung in die folgende, einfachere Ungleichung umwandeln:
3x > 15
Man kann die Ungleichheitszeichen austauschen und beide Seiten der Ungleichung um 5 verkleinern:
-5 + 3x < -5 + 15
3x < 10
Jetzt kann man auf beiden Seiten der Ungleichung 3 multiplizieren:
3 × 3x < 3 × 10
9x < 30
Übungsaufgaben
Um dich mit Äquivalenzumformungen vertraut zu machen, solltest du die folgenden Aufgaben lösen. Beachte dabei, dass es oft mehrere Möglichkeiten gibt, eine Ungleichung umzuformen.
Forme die Ungleichung um, so dass sie nur noch eine Variable enthält.
-4a + 5b > 11
-4a + 5b – 5b + 5b > 11 – 5b + 5b
-4a + 10b > 16
-4a + 10b + 4a > 16 + 4a
6a > 20
Forme die Ungleichung um, so dass sie nur noch eine Variable enthält.
-3x + 4y ≤ 12
-3x + 4y – 4y + 4y ≤ 12 – 4y + 4y
-3x + 8y ≤ 16
-3x + 8y + 3x ≤ 16 + 3x
5x ≤ 19
Forme die Ungleichung um, so dass sie nur noch eine Variable enthält.
2(x+1) > x+6
2x + 2 > x + 6
2x – x + 2 > 6 – x
x + 2 > 6 – x
x + 2 > -x + 6
Forme die Ungleichung um, so dass sie nur noch eine Variable enthält.
3(x-4) < 2x-5
3x – 12 < 2x - 5
3x – 2x – 12 + 5 < 2x - 2x + 5
x – 7 < 0
Forme die Ungleichung um, so dass sie nur noch eine Variable enthält.
