Im Allgemeinen lässt sich eine lineare Regression wie folgt schreiben:
y = β + δx
wobei β die Konstante und δ der Regressionskoeffizient ist. In manchen Fällen ist es jedoch sinnvoll, den Regressionskoeffizienten zu standardisieren. Dies hat zwei Hauptgründe:
Die Standardisierung ermöglicht es uns, die Bedeutung der Variablen zu vergleichen, da sie alle auf einer gleichen Skala sind.
Die Standardisierung ermöglicht es uns, die Bedeutung der Variablen zu interpretieren, da sie in „Standardschritte“ transformiert sind.
Die Standardisierung einer Variablen lässt sich wie folgt durchführen:
z = (x-μ)/ν
wobei μ die Mittelwert der Variablen ist und ν die Standardabweichung. Die Standardisierung hat zur Folge, dass der neue Mittelwert der standardisierten Variablen bei 0 liegt und die Standardabweichung bei 1. Wenn wir den Regressionskoeffizienten standardisieren, schreibt sich die lineare Regression wie folgt:
y = β + δz
Wenn wir die Standardisierung durchführen, können wir den Regressionskoeffizienten interpretieren, als würde eine Änderung der standardisierten Variablen um eine Standardabweichung die abhängige Variable um den Regressionskoeffizienten ändern. Wenn die Variablen nicht standardisiert sind, ist eine solche Interpretation nicht möglich.
Beispiel
Angenommen, wir haben folgende Daten über die Körpergröße (in Zoll) und das Gewicht (in Pfund) von 10 Personen:
Körpergröße
Gewicht
63
150
67
160
71
170
74
180
68
155
72
165
69
162
75
175
70
159
Wenn wir eine lineare Regression durchführen, um zu versuchen, das Gewicht anhand der Körpergröße vorherzusagen, erhalten wir den folgenden Regressionskoeffizienten:
Gewicht = 90.89 + 6.62Körpergröße
Dieser Regressionskoeffizient sagt uns, dass, wenn wir die Körpergröße einer Person um einen Zoll erhöhen, erwartet wird, dass ihr Gewicht um 6,62 Pfund zunimmt, wobei wir das Gewicht einer Person mit der Körpergröße von 63 Zoll als Ausgangspunkt nehmen. Allerdings ist diese Interpretation des Regressionskoeffizienten schwierig. Stattdessen können wir die Körpergröße standardisieren und sehen, was für einen Regressionskoeffizienten wir jetzt erhalten:
z = (x-μ)/ν
Für die Körpergröße berechnen wir den Mittelwert und die Standardabweichung:
μ = 70
ν = 3.16
Wir können nun die Körpergröße standardisieren und unsere lineare Regression neu schreiben:
Gewicht = 90.89 + 6.62z
Jetzt können wir den Regressionskoeffizienten interpretieren. Eine Änderung der Körpergröße um eine Standardabweichung sollte das Gewicht um 6,62 Pfund ändern. In diesem Fall ist eine Standardabweichung gleich 3,16 Zoll. Dies ist einfacher zu interpretieren als der ursprüngliche Regressionskoeffizient.
Aufgaben
Für die folgenden Aufgaben werden wir die Körpergröße (in Zoll) und das Gewicht (in Pfund) derselben 10 Personen verwenden, die wir im vorherigen Beispiel verwendet haben.
Berechnen Sie den Mittelwert der Körpergröße und des Gewichts.
Mittelwert der Körpergröße: 70
Mittelwert des Gewichts: 162,6
Berechnen Sie die Standardabweichung der Körpergröße und des Gewichts.
Standardabweichung der Körpergröße: 3,16
Standardabweichung des Gewichts: 11,37
Standardisieren Sie die Körpergröße.
z = (x-μ)/ν
z = (63-70)/3.16 = -1.95
z = (67-70)/3.16 = -0.48
z = (71-70)/3.16 = 0.48
z = (74-70)/3.16 = 1.29
z = (68-70)/3.16 = -0.95
z = (72-70)/3.16 = 0.48
z = (69-70)/3.16 = -0.71
z = (75-70)/3.16 = 1.67
z = (70-70)/3.16 = 0
Standardisieren Sie das Gewicht.
z = (150-162.6)/11.37 = -1.26
z = (160-162.6)/11.37 = -0.61
z = (170-162.6)/11.37 = 0.14
z = (180-162.6)/11.37 = 1.09
z = (155-162.6)/11.37 = -0.91
z = (165-162.6)/11.37 = -0.21
z = (162-162.6)/11.37 = -0.05
z = (175-162.6)/11.37 = 0.87
z = (159-162.6)/11.37 = -0.71
Führen Sie eine lineare Regression durch, um das Gewicht anhand der Körpergröße vorherzusagen, und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten.
Gewicht = 90.89 + 6.62Körpergröße
Eine Änderung der Körpergröße um einen Zoll sollte das Gewicht um 6,62 Pfund ändern.
