Als Dichtefunktion wird eine Funktion bezeichnet, die für ein gegebenes Objekt in einem bestimmten Bereich die Häufigkeit der Auftretens angeben kann. Die Dichtefunktion ist ein wichtiges Konzept der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Statistik.
Beispiel
Betrachten wir eine Urne, in der sich 5 weiße und 3 rote Kugeln befinden. Die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus der Urne gezogen werden, lässt sich wie folgt darstellen:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 den Wert 0,1/8, 3/8, 3/8, 1/8 und 0 an.
Aufgaben
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus einer Urne mit 10 weißen und 6 roten Kugeln gezogen werden.
Lösung:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und 6 den Wert 0, 1/16, 5/16, 5/16, 5/16, 1/16 und 0 an.
Aufgabe 2
Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus einer Urne mit 5 weißen und 5 roten Kugeln gezogen werden.
Lösung:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 den Wert 0, 1/4, 1/2, 1/4, 0 und 0 an.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus einer Urne mit 4 weißen und 6 roten Kugeln gezogen werden.
Lösung:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 den Wert 0, 1/12, 2/3, 1/12, 0 und 0 an.
Aufgabe 4
Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus einer Urne mit 3 weißen und 7 roten Kugeln gezogen werden.
Lösung:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 den Wert 0, 1/20, 3/4, 3/20, 0 und 0 an.
Aufgabe 5
Bestimmen Sie die Dichtefunktion der Zufallsvariable „Anzahl der Kugeln“, die bei einer zufälligen Entnahme aus einer Urne mit 2 weißen und 8 roten Kugeln gezogen werden.
Lösung:
f(x) = P(X = x) =
Die Funktion ist also stetig und nimmt für x = 0, 1, 2, 3, 4 und 5 den Wert 0, 1/30, 2/3, 1/15, 0 und 0 an.
