Die Dichtefunktion Standardnormalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Gauss-Kurve beschreibt. Die Standardnormalverteilung hat einen Erwartungswert von 0 und eine Standardabweichung von 1. Die Standardnormalverteilung wird häufig verwendet, um zufällige Variablen zu modellieren, die normalverteilt sind.
Beispiel: Die Standardnormalverteilung kann verwendet werden, um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass ein zufällig ausgewählter Student in einer bestimmten Klasse einen IQ von mindestens 120 hat.
Aufgabe 1
Welche der folgenden Aussagen ist nicht wahr?
Die Standardnormalverteilung hat einen Erwartungswert von 1.
Die Standardnormalverteilung hat eine Standardabweichung von 1.
Die Standardnormalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Gauß-Kurve beschreibt.
Die Standardnormalverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine Verteilung mit gleicher Varianz wie die Gauß-Kurve beschreibt.
Lösung
Die Aussage „Die Standardnormalverteilung hat einen Erwartungswert von 1.“ ist nicht wahr. Der Erwartungswert der Standardnormalverteilung ist 0.
Aufgabe 2
Eine zufällige Variable X hat eine Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ=50 und Standardabweichung σ=10. Berechnen Sie den Erwartungswert der zufälligen Variablen Y, die durch die Transformation Y=aX+b definiert ist, wenn a=2 und b=-100.
Lösung
Der Erwartungswert der zufälligen Variablen Y ist E(Y)=aE(X)+b=2*50-100=-50.
Aufgabe 3
Eine zufällige Variable X hat eine Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ=50 und Standardabweichung σ=10. Berechnen Sie den Erwartungswert der zufälligen Variablen Y, die durch die Transformation Y=aX+b definiert ist, wenn a=0,5 und b=20.
Lösung
Der Erwartungswert der zufälligen Variablen Y ist E(Y)=aE(X)+b=0,5*50+20=35.
Aufgabe 4
Eine zufällige Variable X hat eine Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ=50 und Standardabweichung σ=10. Berechnen Sie den Erwartungswert der zufälligen Variablen Y, die durch die Transformation Y=aX+b definiert ist, wenn a=-1 und b=60.
Lösung
Der Erwartungswert der zufälligen Variablen Y ist E(Y)=aE(X)+b=-1*50+60=10.
Aufgabe 5
Eine zufällige Variable X hat eine Gauß-Verteilung mit Erwartungswert μ=50 und Standardabweichung σ=10. Berechnen Sie den Erwartungswert der zufälligen Variablen Y, die durch die Transformation Y=aX+b definiert ist, wenn a=3 und b=-30.
Lösung
Der Erwartungswert der zufälligen Variablen Y ist E(Y)=aE(X)+b=3*50-30=120.
