Die diskrete Verteilungsfunktion (engl. probability mass function, pmf) gibt für eine diskrete Zufallsvariable die Wahrscheinlichkeit an, dass diese Variable einen bestimmten Wert annehmen wird. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable müssen dabei stets summiert 1 ergeben.
Beispiel 1
Betrachten wir beispielsweise die diskrete Zufallsvariable X mit den Werten x1 = 1; x2 = 2 und x3 = 3. Die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert x1 annehmen wird, ist also P(X = x1) = 0,4. Analog gilt für die anderen beiden Werte: P(X = x2) = 0,3 und P(X = x3) = 0,3. Die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable müssen dabei stets summiert 1 ergeben. In unserem Fall ist das also P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3) = 0,4 + 0,3 + 0,3 = 1,0.
Beispiel 2
Eine weitere diskrete Zufallsvariable ist Y mit den Werten y1 = -1; y2 = 0 und y3 = 1. Die Wahrscheinlichkeit, dass Y den Wert y1 annehmen wird, ist also P(Y = y1) = 0,2. Analog gilt für die anderen beiden Werte: P(Y = y2) = 0,4 und P(Y = y3) = 0,4. Wie bereits oben erwähnt, müssen die Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable stets summiert 1 ergeben. In unserem Fall ist das also P(Y = y1) + P(Y = y2) + P(Y = y3) = 0,2 + 0,4 + 0,4 = 1,0.
Aufgabe 1
Betrachten Sie die folgende Tabelle der diskreten Zufallsvariable W:
Wert
-2
-1
0
1
2
P(W = w)
0,05
0,15
0,30
0,35
0,15
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass W den Wert 1 annehmen wird.
Lösung 1
Die Wahrscheinlichkeit, dass W den Wert 1 annehmen wird, ist P(W = 1) = 0,35.
Aufgabe 2
Betrachten Sie die folgende Tabelle der diskreten Zufallsvariable Z:
Wert
-1
0
1
2
3
P(Z = z)
0,10
0,20
0,40
0,15
0,15
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Z einen Wert kleiner oder gleich 1 annehmen wird.
Lösung 2
Die Wahrscheinlichkeit, dass Z einen Wert kleiner oder gleich 1 annehmen wird, ist P(Z ≤ 1) = 0,10 + 0,20 = 0,30.
Aufgabe 3
Betrachten Sie die folgende Tabelle der diskreten Zufallsvariable R:
Wert
0
1
2
P(R = r)
0,40
0,35
0,25
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass R den Wert 1 oder 2 annehmen wird.
Lösung 3
Die Wahrscheinlichkeit, dass R den Wert 1 oder 2 annehmen wird, ist P(R = 1 oder R = 2) = 0,35 + 0,25 = 0,60.
Aufgabe 4
Betrachten Sie die folgende Tabelle der diskreten Zufallsvariable S:
Wert
0
1
2
3
4
5
P(S = s)
0,10
0,15
0,20
0,15
0,10
0,30
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass S einen Wert größer oder gleich 3 annehmen wird.
Lösung 4
Die Wahrscheinlichkeit, dass S einen Wert größer oder gleich 3 annehmen wird, ist P(S ≥ 3) = 0,15 + 0,10 + 0,30 = 0,55.
Aufgabe 5
Betrachten Sie die folgende Tabelle der diskreten Zufallsvariable T:
Wert
0
1
2
3
P(T = t)
0,25
0,10
0,40
0,25
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass T den Wert 0 oder 3 annehmen wird.
Lösung 5
Die Wahrscheinlichkeit, dass T den Wert 0 oder 3 annehmen wird, ist P(T = 0 oder T = 3) = 0,25 + 0,25 = 0,50.
