Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die Mittelwerte von wiederholten Messungen einer zufälligen Größe mit der Messdauer immer mehr annähern. Oder allgemeiner: Die Mittelwerte von unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen nähern sich mit steigender Anzahl der Beobachtungen dem Erwartungswert der Zufallsvariable an.
Es geht hier also um den Erwartungswert einer zufälligen Größe. Der Erwartungswert ist ein Maß für die zentrale Lage einer Verteilung. Bei einer diskreten Verteilung ist der Erwartungswert gleich der Summe der Produkte aus den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und den möglichen Ausgängen.
Bei einer stetigen Verteilung ist der Erwartungswert gleich der Integral der Produkte aus der Wahrscheinlichkeitsdichte und den möglichen Ausgängen.
Das Gesetz der großen Zahlen ist ein Satz aus der Stochastik, welcher sich mit der Annäherung von Messwerten an einen Erwartungswert beschäftigt. Es ist ein fundamentales Gesetz mit zahlreichen Anwendungen in der Praxis.
Beispiel 1
Stell Dir eine Münze vor. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 50% und für Zahl beträgt 50%. Wenn Du die Münze nur einmal wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit für Kopf oder Zahl jeweils 50%. Wenn Du die Münze 100 mal wirfst, wirst Du ungefähr 50 mal Kopf und 50 mal Zahl erhalten. Je mehr Du wirfst, desto näher kommst Du der 50%-50%-Verteilung.
Beispiel 2
Betrachten wir eine zufällige Variable X mit Erwartungswert μ. Durch das Gesetz der großen Zahlen wird die folgende Ungleichung immer kleiner:
P(|X-μ|>ϵ)<=1/nP(|X-μ|>ϵ)
Das bedeutet, dass sich die Abweichung X – μ mit steigender Anzahl der Beobachtungen n <= 1/n annähert. Die Ungleichung ist nur dann wahr, wenn n unendlich groß ist.
Beispiel 3
Angenommen, Du spielst ein Spiel, in dem Du jede Runde 1 Euro gewinnen oder verlieren kannst. Dein Erwartungswert ist Null, da Du im Durchschnitt weder Geld gewinnst noch verlierst. Wenn Du das Spiel nur einmal spielst, ist es egal, ob Du gewinnst oder verlierst. Wenn Du es jedoch 100 mal spielst, wirst Du ungefähr 50 mal gewinnen und 50 mal verlieren. Dein Erwartungswert ist also Null, auch wenn Du im Durchschnitt Geld verlierst.
Beispiel 4
Wenn Du einen Würfel nur einmal wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 1 gleich 1/6. Wenn Du den Würfel jedoch 100 mal wirfst, wirst Du ungefähr 16,67 mal die Augenzahl 1 erhalten. Je mehr Du wirfst, desto näher kommst Du der 16,67%-Verteilung.
Aufgabe 1
Angenommen, Du spielst ein Spiel, in dem Du jede Runde einen Euro gewinnen oder verlieren kannst. Berechne den Erwartungswert des Spiels.
Lösung: Der Erwartungswert des Spiels ist Null, da Du im Durchschnitt weder Geld gewinnst noch verlierst.
Aufgabe 2
Wenn Du einen Würfel nur einmal wirfst, ist die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 1 gleich 1/6. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei 100 Würfen ungefähr 16,67 mal die Augenzahl 1 erhältst.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei 100 Würfen ungefähr 16,67 mal die Augenzahl 1 erhältst, ist sehr gering. Die Wahrscheinlichkeit nähert sich aber 1/6 an, je mehr Du wirfst.
Aufgabe 3
Betrachte eine zufällige Variable X mit Erwartungswert μ. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Abweichung X – μ mit steigender Anzahl der Beobachtungen n <= 1/n annähert.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Abweichung X – μ mit steigender Anzahl der Beobachtungen n <= 1/n annähert, ist 1. Die Ungleichung ist nur dann wahr, wenn n unendlich groß ist.
Aufgabe 4
Stell Dir eine Münze vor. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt 50% und für Zahl beträgt 50%. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei 100 Würfen ungefähr 50 mal Kopf und 50 mal Zahl erhältst.
Lösung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Du bei 100 Würfen ungefähr 50 mal Kopf und 50 mal Zahl erhältst, ist sehr hoch. Die Wahrscheinlichkeit nähert sich aber 50%-50% an, je mehr Du wirfst.
Aufgabe 5
Stell Dir eine zufällige Variable X vor. Berechne den Erwartungswert der zufälligen Variablen.
Lösung: Der Erwartungswert der zufälligen Variablen ist der Mittelwert der Verteilung. Der Mittelwert ist gleich der Summe der Produkte aus den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und den möglichen Ausgängen.
