Die Laplace-Regel (auch Laplace-Prinzip oder Laplace-Theorem) ist ein wesentlicher Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Regel besagt, dass unter bestimmten Annahmen die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Ereignis A eintritt, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass das komplementäre Ereignis Ac eintritt. Die Annahmen, die erfüllt sein müssen, sind:
Die Wahrscheinlichkeit, das Ereignis A einmal eintritt, ist gleich 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A mehr als einmal eintritt, ist gleich 0.
Die Wahrscheinlichkeit, das Ereignis Ac einmal eintritt, ist gleich 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis Ac mehr als einmal eintritt, ist gleich 0.
Beispiel
Stellen wir uns eine Urne mit drei Kugeln vor, wovon zwei weiß und eine schwarz ist. Nehmen wir an, wir ziehen eine Kugel ohne Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel, die wir ziehen, weiß ist, beträgt somit 2/3.
Betrachten wir nun das komplementäre Ereignis, nämlich dass die Kugel nicht weiß ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, beträgt 1/3.
Dieses Beispiel erfüllt die vier Laplace-Bedingungen, da:
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weiß ist, ist gleich 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel mehr als einmal weiss ist, ist gleich 0.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, ist gleich 1.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel mehr als einmal schwarz ist, ist gleich 0.
Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weiß ist.
Aufgaben
1) Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für jede der sechs möglichen Ergebnisse.
2) Ein Spieler wirft eine Münze. Berechne die Wahrscheinlichkeit für jedes der zwei möglichen Ergebnisse.
3) Eine Urne enthält 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird gezogen, ohne sie zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für jede der zwei möglichen Ergebnisse.
4) Eine Urne enthält 5 weiße und 5 schwarze Kugeln. Eine Kugel wird gezogen, ohne sie zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für jede der zwei möglichen Ergebnisse.
5) Eine Urne enthält 5 weiße und 6 schwarze Kugeln. Zwei Kugeln werden gezogen, ohne sie zurückzulegen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für jede der vier möglichen Ergebnisse.
Lösungen
1) Die Wahrscheinlichkeit für jedes der sechs möglichen Ergebnisse beträgt 1/6.
2) Die Wahrscheinlichkeit für jedes der zwei möglichen Ergebnisse beträgt 1/2.
3) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weiß ist, beträgt 4/10 und die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, beträgt 6/10.
4) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel weiß ist, beträgt 1/2 und die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel schwarz ist, beträgt 1/2.
5) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, beträgt 5/36, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel weiß und die andere schwarz ist, beträgt 10/36, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel schwarz und die andere weiß ist, beträgt 10/36 und die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln schwarz sind, beträgt 6/36.
