Poisson Verteilung Statistik | Übungen und Aufgaben mit Lösungen

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Die Poisson-Verteilung ist ein Modell, das zur Schätzung der Wahrscheinlichkeit verwendet wird, dass ein bestimmtes Ereignis in einem bestimmten Zeitraum eintritt. Die Poisson-Verteilung wird oft verwendet, um die Anzahl der Fehler in einem bestimmten Produkt oder die Anzahl der Autounfälle auf einer bestimmten Autobahn zu bestimmen.

Beispiel:

Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass in einem bestimmten Zeitraum von 10 Stunden 3 Fehler in einem bestimmten Produkt auftreten. Daher ist λ = 3 / 10 = 0,3. Die Poisson-Verteilung kann durch die folgende Gleichung beschrieben werden:

P(x; λ) = e^-λ * λ^x / x!

Aufgabe 1:

Angenommen, λ = 4. Berechnen Sie P(0; 4), P(1; 4), P(2; 4) und P(3; 4).

Lösung:

P(0; 4) = e^-4 * 4⁰ / 0! = 1 * 1 / 1 = 1

P(1; 4) = e^-4 * 4¹ / 1! = 1 * 4 / 1 = 4

P(2; 4) = e^-4 * 4² / 2! = 1 * 16 / 2 = 8

P(3; 4) = e^-4 * 4³ / 3! = 1 * 64 / 6 = 10,667

Aufgabe 2:

Angenommen, λ = 10. Berechnen Sie P(0; 10) und P(1; 10).

Lösung:

P(0; 10) = e^-10 * 10⁰ / 0! = 1 * 1 / 1 = 1

P(1; 10) = e^-10 * 10¹ / 1! = 1 * 10 / 1 = 10

Aufgabe 3:

Angenommen, λ = 20. Berechnen Sie P(0; 20), P(1; 20), P(2; 20), P(3; 20) und P(4; 20).

Lösung:

P(0; 20) = e^-20 * 20⁰ / 0! = 1 * 1 / 1 = 1

P(1; 20) = e^-20 * 20¹ / 1! = 1 * 20 / 1 = 20

P(2; 20) = e^-20 * 20² / 2! = 1 * 400 / 2 = 200

P(3; 20) = e^-20 * 20³ / 3! = 1 * 8,000 / 6 = 1,333

P(4; 20) = e^-20 * 20⁴ / 4! = 1 * 160,000 / 24 = 4,167

Aufgabe 4:

Angenommen, λ = 30. Berechnen Sie P(0; 30), P(1; 30), P(2; 30), P(3; 30), P(4; 30) und P(5; 30).

Lösung:

P(0; 30) = e^-30 * 30⁰ / 0! = 1 * 1 / 1 = 1

P(1; 30) = e^-30 * 30¹ / 1! = 1 * 30 / 1 = 30

P(2; 30) = e^-30 * 30² / 2! = 1 * 900 / 2 = 450

P(3; 30) = e^-30 * 30³ / 3! = 1 * 27,000 / 6 = 4,500

P(4; 30) = e^-30 * 30⁴ / 4! = 1 * 810,000 / 24 = 33,750

P(5; 30) = e^-30 * 30⁵ / 5! = 1 * 24,300,000 / 120 = 80,250

Aufgabe 5:

Angenommen, λ = 40. Berechnen Sie P(0; 40), P(1; 40), P(2; 40), P(3; 40), P(4; 40), P(5; 40) und P(6; 40).

Lösung:

P(0; 40) = e^-40 * 40⁰ / 0! = 1 * 1 / 1 = 1

P(1; 40) = e^-40 * 40¹ / 1! = 1 * 40 / 1 = 40

P(2; 40) = e^-40 * 40² / 2! = 1 * 1,600 / 2 = 800

P(3; 40) = e^-40 * 40³ / 3! = 1 * 64,000 / 6 = 10,667

P(4; 40) = e^-40 * 40⁴ / 4! = 1 * 2,560,000 / 24 = 106,250

P(5; 40) = e^-40 * 40⁵ / 5! = 1 * 102,400,000 / 120 = 853,333

P(6; 40) = e^-40 * 40⁶ / 6! = 1 * 4,096,000,000 / 720 = 5,625,000

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