In einem Wahrscheinlichkeitsmodell beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsfunktion die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt. Die Funktion ist eine reelle Funktion mit folgenden Eigenschaften:
1. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist stetig.
Das bedeutet, dass es keine Sprünge in der Funktion gibt. Ein Sprung wäre zum Beispiel, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses von 0 auf 1 springt.
2. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nicht-negativ.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses niemals negativ sein kann. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer eine positive Zahl oder Null.
3. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist immer 1.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses niemals größer als 1 sein kann. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1.
Beispiel
Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Münze
Stellen wir uns eine Münze vor, die wir 100 Mal hintereinander werfen. Dabei können zwei mögliche Ereignisse eintreten:
Die Münze fällt mit der Zahl „Kopf“ nach oben (wir nennen das das Ereignis K).
Die Münze fällt mit der Zahl „Zahl“ nach oben (wir nennen das das Ereignis Z).
Wir können nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K berechnen. Dies ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, nennen wir k. Wir haben also:
WK(k) = k/100
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Z berechnen wir analog:
WZ(k) = z/100
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K ist also die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, nennen wir k. Wir haben also:
WK(k) = k/100
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Münze ist also eine stetige Funktion, die für alle Werte von k zwischen 0 und 100 gültig ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K ist immer eine positive Zahl oder Null. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Z ist auch immer eine positive Zahl oder Null. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ereignisse ist immer 1. In unserem Fall ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten für das Ereignis K und das Ereignis Z 1.
Aufgaben
Aufgabe 1
Berechnen Sie für folgendes Experiment die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wir werfen eine Münze 100 Mal hintereinander.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, nennen wir k. Wir haben also:
WK(k) = k/100
Aufgabe 2
Berechnen Sie für folgendes Experiment die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wir werfen eine Münze 100 Mal hintereinander.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Z ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Zahl“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Zahl“ nach oben fällt, nennen wir z. Wir haben also:
WZ(z) = z/100
Aufgabe 3
Berechnen Sie für folgendes Experiment die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wir werfen eine Münze 100 Mal hintereinander.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, nennen wir k. Wir haben also:
WK(k) = k/100
Aufgabe 4
Berechnen Sie für folgendes Experiment die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wir werfen eine Münze 100 Mal hintereinander.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis Z ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Zahl“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Zahl“ nach oben fällt, nennen wir z. Wir haben also:
WZ(z) = z/100
Aufgabe 5
Berechnen Sie für folgendes Experiment die Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wir werfen eine Münze 100 Mal hintereinander.
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis K ist die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, geteilt durch die Anzahl aller Versuche. In unserem Fall ist die Anzahl der Versuche 100. Die Anzahl der Male, die die Münze mit der Zahl „Kopf“ nach oben fällt, nennen wir k. Wir haben also:
