Der zentrale Grenzwertsatz ist eines der wichtigsten Konzepte in der Statistik. Er gibt an, wie sich eine Verteilung annähernd normal verhält, wenn die Anzahl der Beobachtungen unendlich groß wird. Dieser Artikel enthält eine Erklärung des zentralen Grenzwertsatzes mit Beispielen und 5 Aufgaben mit Lösungen.
Was ist der zentrale Grenzwertsatz?
Der zentrale Grenzwertsatz ist ein Satz aus der Mathematik und der Statistik, der besagt, dass sich eine Verteilung einer zufälligen Variable annähernd normal verhält, wenn die Anzahl der Beobachtungen unendlich groß wird. Dies bedeutet, dass die Verteilung der zufälligen Variablen im Mittel um den Erwartungswert herum symmetrisch wird und die Standardabweichung im Mittel gleich der Standardabweichung der zufälligen Variablen ist.
Der zentrale Grenzwertsatz ist ein wichtiges Konzept in der Statistik, da viele Verteilungen im Mittel normal sind. Dies ermöglicht es Statistikern, verschiedene Verteilungen zu analysieren, ohne sie genau zu kennen. Zum Beispiel können Statistiker eine t-Verteilung verwenden, um die Standardabweichung einer zufälligen Variablen zu schätzen, wenn die Anzahl der Beobachtungen groß ist. Dies ist möglich, weil die t-Verteilung im Mittel normal ist.
Beispiel
Betrachten Sie die folgende zufällige Variable mit einer Verteilung, die eine Reihe von Werten zwischen 0 und 1 zulässt. In diesem Beispiel wird angenommen, dass jeder Wert mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt.
Die Erwartungswerte der zufälligen Variablen sind in Abbildung 1 dargestellt. Wie Sie sehen können, ist der Erwartungswert im Mittel 0,5. Wenn wir nun 10 Beobachtungen der zufälligen Variablen machen, können wir die tatsächliche Erwartungswerte berechnen. Dies ist in Abbildung 2 dargestellt. Wie Sie sehen können, sind die tatsächlichen Erwartungswerte nicht genau 0,5, sondern schwanken um diesen Wert. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass wir nur eine begrenzte Anzahl von Beobachtungen gemacht haben.
Wenn wir jedoch mehr Beobachtungen machen, werden die tatsächlichen Erwartungswerte immer näher an den Erwartungswert von 0,5 liegen. Dies ist in Abbildung 3 dargestellt. Wenn wir unendlich viele Beobachtungen machen, werden die tatsächlichen Erwartungswerte genau 0,5 sein. Dies ist der zentrale Grenzwertsatz.
Abbildung 1: Der Erwartungswert der zufälligen Variablen ist 0,5.
Abbildung 2: Die tatsächlichen Erwartungswerte der zufälligen Variablen schwanken um 0,5.
Abbildung 3: Die tatsächlichen Erwartungswerte der zufälligen Variablen konvergieren zu 0,5.
Aufgaben
1. Betrachten Sie die zufällige Variable X mit Erwartungswert μ=5 und Standardabweichung σ=2. Wie viele Beobachtungen müssen wir mindestens machen, um sicherzustellen, dass der tatsächliche Erwartungswert mindestens 4,9 ist?
2. Betrachten Sie die zufällige Variable X mit Erwartungswert μ=5 und Standardabweichung σ=2. Wie viele Beobachtungen müssen wir mindestens machen, um sicherzustellen, dass der tatsächliche Erwartungswert mindestens 5,1 ist?
3. Betrachten Sie die zufällige Variable X mit Erwartungswert μ=5 und Standardabweichung σ=2. Wie viele Beobachtungen müssen wir mindestens machen, um sicherzustellen, dass der tatsächliche Erwartungswert zwischen 4,9 und 5,1 liegt?
4. Betrachten Sie die zufällige Variable X mit Erwartungswert μ=5 und Standardabweichung σ=2. Wie viele Beobachtungen müssen wir mindestens machen, um sicherzustellen, dass die tatsächliche Standardabweichung kleiner als 1 ist?
5. Betrachten Sie die zufällige Variable X mit Erwartungswert μ=5 und Standardabweichung σ=2. Wie viele Beobachtungen müssen wir mindestens machen, um sicherzustellen, dass die tatsächliche Standardabweichung zwischen 1 und 2 liegt?
Lösungen
1. Wir müssen mindestens 9 Beobachtungen machen.
2. Wir müssen mindestens 25 Beobachtungen machen.
3. Wir müssen mindestens 36 Beobachtungen machen.
4. Wir müssen mindestens 100 Beobachtungen machen.
5. Wir müssen mindestens 400 Beobachtungen machen.
